वास्तविक संख्या (Real number)क्या है ? - Amar Ujalas

वास्तविक संख्या (Real number)क्या है ?

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वास्तविक संख्या (Real number)क्या है ?

परिमेय संख्याओं(Rational numbers) और अपरिमेय संख्याओ((Irrational numbers) के समूह को हम वास्तविक संख्या कहते है अथवा दुसरे शब्दों में हम कह सकते है की वैसी संख्या जिसका वर्ग(Square) हमेसा एक धनात्मक संख्या हो उसे हम वास्तविक संख्या कहते है ,इसे हम निचे दिये गए उदहारण के साथ समझते है-

Exp- 2/3 , 4.5 ,-9, -5.6 ,5√3 , 75√3 इत्यादि वास्तविक संख्याओ के उदहारण है .लेकिन √-3 एक वास्तविक संख्याओ के उदहारण नहीं है!

वास्तविक संख्या 2 प्रकार के होते है |

(1)परिमेय संख्या(Rational number) :-वह संख्या जो p/q, के रूप में व्यक्त की जा सकती है। परिमेय संख्या कहलाती है। लेकिन जिन संख्याओ का हर शुन्य होता है। वे परिमेय संख्या नहीं होती है।

Exp-1, 3, 4, 3/4 ,6/7 ,2/3 , 4.5 ,-9, -5.6 etc.

(2) अपरिमेय संख्या((Irrational number):-वह संख्या जो p/q, के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकती है।परिमेय संख्या कहलाती है।

Exp-5√3 , 75√3 , √-3 etc

  • समतुल्य परिमेय संख्या(Equivalent rational number):- किसी दी गई धनात्मक भिनात्मक संख्याएं के समतुल्य परिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए अंश तथा हर में समान संख्या से गुणा करते हैं|

Exp- 2/5 =2/5*2/2= 4/10(जंहा  /=बट्टा है |*=गुणा )

(1)प्राकृतिक संख्या(Natural Number):-गिनती की संख्या को प्राकृतिक संख्या कहते हैं|

Exp- N=1,2,3,4,5,6,7,8,9,…………………)

(2)पूर्ण संख्या( Whole Number):- प्राकृतिक संख्याओं के समूह में यदि है 0 को शामिल कर देते हैं तो इससे पूर्ण संख्या कहते हैं इसे संकेत में W सूचित किया जाता है|

Exp-W=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9………………)

(3)सम संख्या (Even Number):-वे प्राकृतिक संख्याएं जो 2 पूर्ण विभाजित हो उसे सम संख्या कहते हैं सम संख्या को 2n के रूप में लिखा जा सकता है जहां nप्रकृतिक संख्या है|

Exp-2,4,6,8,10,12,14,………………………)

(4)विषम संख्या( Odd Number):- वे प्राकृतिक संख्या 2जो से पूर्ण विभाजित नहीं हो उसे विषम संख्या करते हैं इसे 2n-1के द्वारा लिखा जा सकता है| जहां प्रकृतिक nसंख्या है|

Exp-2,3,5,7,9,11,13,15…………………….)

Note- 2 सबसे छोटी विषम संख्या है|

(5)अभाज्य अथवा रूढ़ संख्या(Prime or root number):- 1 से बरी व प्राकृतिक संख्याएं जो 1 या अपने आपको छोड़कर किसी अन्य संख्या से विभाज्य ना हो उसे अभाज्य अथवा रूढ़ संख्या कहते हैं|

Exp-2,3,5,7,11,13,17,……………………….)

(6)भाज्य अथवा यौगिक संख्या(Composit Number):- वे प्राकृतिक संख्याएं जो 1 या अपने को छोड़कर और दूसरे की संख्या से विभाजित हो उसभाज्य अथवा यौगिक संख्या कहते हैं|

Exp-4,6,8,9,10,12,14,……………………..)

(7)  सह -भाज्य संख्या(Co-Prime Number):-वैसे दो संख्याएं या दो से अधिक संख्या हैं जिनका HCF एक हो अर्थात उन संख्याओं का महत्तम समापवर्तक एक सह अभाज्य संख्या कहलाती हैं|

Exp-(5,7)( 9,7)…………………………….)

(8)पूर्णांक संख्या (Integer Number):-धनात्मक प्राकृतिक संख्या, ऋणात्मक प्राकृतिक संख्या तथा शून्य के समूह को कहते हैं|

Exp-1,2,3,4,-5,-7,-8,-9…………………)

पूर्णांक के प्रकार (Types of Integers)

पूर्णांकों को दो प्रकार में विभाजित किया जा सकता है। पूर्णांकों के ये दो प्रकार हैं: धनात्मक पूर्णांक, ऋणात्मक पूर्णांक

(a) धनात्मक पूर्णांक (Positive Integers):-वैसी पूर्णांक संख्याएं, जो धनात्मक हैं, धनात्मक पूर्णांक कहलाती हैं।

Exp- 1, 2, 3, 4, 5, . . . . . . . . आदि सभी धनात्मक पूर्णांक हैं।

(b) .ऋणात्मक पूर्णांक (Negative Integers):-वैसे पूर्णांक जिनके पूर्व ऋणात्मक चिन्ह लगा हो, ऋणात्मक पूर्णांक कहलाते हैं।

Exp-अत:, –1, –2, –3, –4, –5, . . . . . . . . )आदि ऋणात्मक पूर्णांक हैं।

Note-शून्य एक पूर्णांक है, परंतु शून्य न तो धनात्मक है और न ही ऋण

(9)भिन्न (Fraction):- किसी पूर्णांक m मैं पूर्णांक n से भाग देने पर प्राप्त संख्या को भिन्न m/n कहा जाता है जहां m को अंश तथा को n हर कहते हैं|

Exp-2/3 ,3/5 ,7/6 ,6/7 ,8/7 ,9/8. . . . . . . . .)

(10)परिमेय संख्या के जोर और गुणा में बीजीये नियम 

(a)संवरक नियम (Closurelaw):-यदि mऔरn दो परिमेय संख्याएँ हो तो भी परिमेय होगा | 

Exp- m+n=2+3=5 ,

m*n=mn=2*3=6 परिमेय संख्याएँ हैं।

(b)क्रमविनिमेय नियम (Commutative law):-यदि aऔर b दो परिमेय संख्याएँ हैं।तो 

  • a+b=b+a(जोड़ का क्रमबिनिमेय नियम )
  • a.b=b.a   (गुणा का क्रमबिनिमेय नियम)

(c)साहचर्य नियम(Asssociative law):-यदि a, b औरc तीन परिमेय संख्याएँ हैं।तो 

  • (a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c(जोड़ साहचर्य नियम)
  • (ab)c=a(bc)=abc(गुणा साहचर्य नियम)

(d)ततस्मक अवयव की उपस्थिति (Existeencennce of identity element):-यदि 0और 1 दो परिमेय संख्याएँ हैं।तो 

  • m+0=0+m=m(जोड़ ततस्मक अवयव 0हैं।)
  • a*1=1*a=a(गुणा ततस्मक अवयव 1हैं।)

(e)प्रतीप या प्रतिलोम अवयव (Inverse element):- a का प्रतिलोम -a  है | 

Exp-1 का -1, 2 का -2 है | etc

(f)काट नियम (Cancellation law):-

  • यदि m+n=m+p तो n=p
  • यदि m+c=n+c तो m=n
  • यदि m #0औरmn=mp तो n=p(जहाँ #= नहीं )
  • यदि m #0और bm=cm तो b=c(जहाँ #= नहीं )

(g)बितरण या बंटन नियम (Distributive law):-यदि a, b औरc तीन परिमेय संख्याएँ हैं।तो 

  • a(b+c)=ab+ac
  • (b+c)a=ab+ac

(h)दो संख्याओं के बिच परिमेय संख्या निकलना :-यदि aऔर b दो परिमेय संख्याएँ हैं। (a<b)तो a+b/2उनके बिच की परिमेय संख्या है |

Exp- a=2 , b=3 के बिच की  संख्या है |

a+b/2=2+3/2=5\2 है |

घातंक एवं करणी के महम्‍वपूर्ण सूत्र – Important Formulas of Surds and Indices

 1.    लगातार 5 प्राकृतिक संख्याये  N=1 ,2 ,3 ,4 ,5  . . . . . . . . . . . . . . .
 2.   लगातार 5 पूर्ण संख्याये   W=0 ,1 , 2, 3, 4. . . . . . . . . . . . . . . 
 3.   लगातार 5 सम संख्याये    2, 4 ,6 ,8 ,10 . . . . . . . . . . . . . . .
 4.     लगातार 5 विषम संख्याये     1 ,2 , 3, 5 , 7 . . . . . . . . . . . . . . .
 5.   लगातार 5  भाज्य अथवा यौगिक संख्याये    4 ,6 , 8, 9, 10 , . . . . . . . . . . . . . . .
 6.     लगातार 5 अभाज्य अथवा रूढ़ संख्याये  2, 3 , 5 , 7 ,11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 7.   लगातार 5 सह भाज्य संख्याये   (9 , 19) (5 ,9) ,(1, 2)(2, 3), (4, 5) . . . . ..  . . . .
   

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